Dokumentation sauberer machen
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Joachim Schmidt}
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\begin{document}
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\maketitle
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\tableofcontents
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\maketitle
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\section{Der Graph}
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\tableofcontents
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\subsection{Bildung der Kanten}
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\section{Der Graph}
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Der Algorithmus für die Bildung der Kanten ist folgender:
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\subsection{Bildung der Kanten}
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\begin{algorithm}
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\caption{Bildung von Kanten}\label{euclid}
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\begin{algorithmic}[1]
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||||
\Procedure{generateEdges}{}
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||||
\If{nodes is empty} return \EndIf
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||||
\State $castle \gets allCastles[0]$
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||||
\State $remainingCastles \gets allCastles$
|
||||
\Loop
|
||||
\If{$remainingCastles$ is empty} break
|
||||
\EndIf
|
||||
\State connect $castle$ to nearest castle
|
||||
\State $castle \gets nearest castle$
|
||||
\State remove $castle$ from $remainingCastles$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\ForAll{castle in allCastles}
|
||||
\ForAll{nearCastle in allCastlesInRadius(castle)}
|
||||
\State connect $castle$ to $nearCastle$
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndProcedure
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||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
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||||
Der Algorithmus für die Bildung der Kanten ist folgender:
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||||
% Erklärung des Algorithmus
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||||
Der Algorithmus ist in zwei Schritte aufgeteilt:
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\begin{itemize}
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||||
\item Minimale Verbindung von allen Burgen
|
||||
\item Ästhetische Verbesserung der Kanten
|
||||
\end{itemize}
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||||
\begin{algorithm}
|
||||
\caption{Bildung von Kanten}\label{euclid}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
|
||||
\Procedure{generateEdges}{}
|
||||
\If{nodes is empty} return \EndIf
|
||||
\State $castle \gets allCastles[0]$
|
||||
\State $remainingCastles \gets allCastles$
|
||||
\Loop
|
||||
\If{$remainingCastles$ is empty} break
|
||||
\EndIf
|
||||
\State connect $castle$ to nearest castle
|
||||
\State $castle \gets nearest castle$
|
||||
\State remove $castle$ from $remainingCastles$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\ForAll{castle in allCastles}
|
||||
\ForAll{nearCastle in allCastlesInRadius(castle)}
|
||||
\State connect $castle$ to $nearCastle$
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndFor
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
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||||
Die minimale Verbindung aller Burgen erfolgt, indem
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||||
sichergestellt wird, dass jede Burg mit einer anderen
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||||
verbunden ist und dass alle Burgen in einer gemeinsamen
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||||
Verbindung zusammenhängen. Der Algorithmus fängt bei
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||||
einer bestimmten Start-Burg an und verbindet diese Burg
|
||||
mit der nächstliegenden Burg, die noch nicht verbunden
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||||
wurde. Daraufhin wird das gleiche mit der nächsten,
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||||
übernächsten, usw. Burg getan, bis die letzte Burg erreicht
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||||
wurde. Zu diesem Zeitpunkt sind alle Burgen durch eine
|
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Linie verbunden.
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||||
% Erklärung des Algorithmus
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||||
Der Algorithmus ist in zwei Schritte aufgeteilt:
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\begin{itemize}
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||||
\item Minimale Verbindung von allen Burgen
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||||
\item Ästhetische Verbesserung der Kanten
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\end{itemize}
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||||
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||||
Die Ästhetische Verbesserung erfolgt, indem alle Burgen
|
||||
im Umkreis einer Burg durch eine Kante verbunden werden.
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||||
Die minimale Verbindung aller Burgen erfolgt, indem
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||||
sichergestellt wird, dass jede Burg mit einer anderen
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||||
verbunden ist und dass alle Burgen in einer gemeinsamen
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||||
Verbindung zusammenhängen. Der Algorithmus fängt bei
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||||
einer bestimmten Start-Burg an und verbindet diese Burg
|
||||
mit der nächstliegenden Burg, die noch nicht verbunden
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||||
wurde. Daraufhin wird das gleiche mit der nächsten,
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||||
übernächsten, usw. Burg getan, bis die letzte Burg erreicht
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||||
wurde. Zu diesem Zeitpunkt sind alle Burgen durch eine
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||||
Linie verbunden.
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\subsection{Überprüfung der Erreichbarkeit aller Knoten}
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||||
Die Ästhetische Verbesserung erfolgt, indem alle Burgen
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||||
im Umkreis einer Burg durch eine Kante verbunden werden.
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||||
Der Algorithmus, der prüft, ob alle Knoten erreichbar sind, ist
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folgender:
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\subsection{Überprüfung der Erreichbarkeit aller Knoten}
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||||
\begin{algorithm}
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||||
\caption{Erreichbarkeit aller Knoten}\label{euclid}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
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||||
\Procedure{allNodesConnected}{}
|
||||
\State $\textit{firstNode} \gets \text{first element of }\textit{nodes}$
|
||||
\State $allVisitedNodes \gets \textit{empty}$
|
||||
\State $nextVisitNodes \gets empty$
|
||||
\State $\text{append } firstNode \text{ to } allVisitedNodes$
|
||||
\State $\text{neighborsOf } firstNode$
|
||||
\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
|
||||
\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
|
||||
\Loop
|
||||
\If {$nextVisitNodes \text{ is empty}$}
|
||||
break
|
||||
\EndIf
|
||||
\State $\text{append first element of } nextVisitNodes \text{ to } allVisitedNodes$
|
||||
\State $\text{neighborsOf first element of } nextVisitNodes$
|
||||
\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
|
||||
\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
|
||||
\State $\text{delete first element of } nextVisitNodes$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
Der Algorithmus, der prüft, ob alle Knoten erreichbar sind, ist
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||||
folgender:
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||||
Der Algorithmus verwendet zwei unterschiedliche Datentypen:
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||||
\begin{itemize}
|
||||
\item HashSet wird verwendet, um die bisher
|
||||
besuchten Knoten zu speichern. Eine HashSet
|
||||
hat den Vorteil, dass Elemente nur einmal
|
||||
gespeichert werden können.
|
||||
\item ArrayDeque wird verwendet, um die nächsten
|
||||
Knoten, die besucht werden, zu speichern.
|
||||
\end{itemize}
|
||||
\begin{algorithm}
|
||||
\caption{Erreichbarkeit aller Knoten}\label{euclid}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
|
||||
\Procedure{allNodesConnected}{}
|
||||
\State $\textit{firstNode} \gets \text{first element of }\textit{nodes}$
|
||||
\State $allVisitedNodes \gets \textit{empty}$
|
||||
\State $nextVisitNodes \gets empty$
|
||||
\State $\text{append } firstNode \text{ to } allVisitedNodes$
|
||||
\State $\text{neighborsOf } firstNode$
|
||||
\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
|
||||
\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
|
||||
\Loop
|
||||
\If {$nextVisitNodes \text{ is empty}$}
|
||||
break
|
||||
\EndIf
|
||||
\State $\text{append first element of } nextVisitNodes \text{ to } allVisitedNodes$
|
||||
\State $\text{neighborsOf first element of } nextVisitNodes$
|
||||
\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
|
||||
\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
|
||||
\State $\text{delete first element of } nextVisitNodes$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
|
||||
Der Algorithmus sammelt sozusagen alle Knoten, die
|
||||
aufgrund von momentanen Erkenntnissen erreichbar
|
||||
sind, in der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}. Hingegen sind
|
||||
alle Knoten, die schon erreicht worden sind, in dem HashSet
|
||||
\texttt{allVisitedNodes} gespeichert.
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||||
|
||||
Der Algorithmus geht die ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}
|
||||
solange durch, bis diese leer ist. In jeder Iteration wird
|
||||
das erste Element der Liste aus der Liste entfernt.
|
||||
Zunächst wird dieses Element dem HashSet \texttt{allVisitedNodes}
|
||||
hinzugefügt. Daraufhin
|
||||
werden die Nachbarn dieses Elements herausgefunden. Diejenigen
|
||||
Nachbarn, die schon in dem HashSet \texttt{allVisitedNodes}
|
||||
vorhanden sind, werden verworfen. Die restlichen Nachbarn
|
||||
werden der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes} hinzugefügt.
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||||
Der Algorithmus verwendet zwei unterschiedliche Datentypen:
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||||
|
||||
\subsection{Wege finden}
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||||
\subsubsection{Teil (a)}
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\begin{itemize}
|
||||
\item HashSet wird verwendet, um die bisher
|
||||
besuchten Knoten zu speichern. Eine HashSet
|
||||
hat den Vorteil, dass Elemente nur einmal
|
||||
gespeichert werden können.
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||||
\item ArrayDeque wird verwendet, um die nächsten
|
||||
Knoten, die besucht werden, zu speichern.
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||||
\end{itemize}
|
||||
|
||||
\begin{algorithm}
|
||||
\caption{Berechnung der Distanzen}\label{euclid}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
|
||||
\Procedure{run}{}
|
||||
\State $v \gets$ getSmallestNode()
|
||||
\Loop
|
||||
\If{$v$ is null} break \EndIf
|
||||
\State $v \gets getSmallestNode()$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
|
||||
Der Algorithmus sammelt sozusagen alle Knoten, die
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||||
aufgrund von momentanen Erkenntnissen erreichbar
|
||||
sind, in der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}. Hingegen sind
|
||||
alle Knoten, die schon erreicht worden sind, in dem HashSet
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||||
\texttt{allVisitedNodes} gespeichert.
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||||
Der Algorithmus geht die ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}
|
||||
solange durch, bis diese leer ist. In jeder Iteration wird
|
||||
das erste Element der Liste aus der Liste entfernt.
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||||
Zunächst wird dieses Element dem HashSet \texttt{allVisitedNodes}
|
||||
hinzugefügt. Daraufhin
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||||
werden die Nachbarn dieses Elements herausgefunden. Diejenigen
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||||
Nachbarn, die schon in dem HashSet \texttt{allVisitedNodes}
|
||||
vorhanden sind, werden verworfen. Die restlichen Nachbarn
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||||
werden der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes} hinzugefügt.
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||||
\subsection{Wege finden}
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||||
\subsubsection{Teil (a)}
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||||
\begin{algorithm}
|
||||
\caption{Berechnung der Distanzen}\label{euclid}
|
||||
\begin{algorithmic}[1]
|
||||
\Procedure{run}{}
|
||||
\State $v \gets$ getSmallestNode()
|
||||
\Loop
|
||||
\If{$v$ is null} break \EndIf
|
||||
\State $v \gets getSmallestNode()$
|
||||
\EndLoop
|
||||
\EndProcedure
|
||||
\end{algorithmic}
|
||||
\end{algorithm}
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$$O(n) = $$
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$$O(n) = $$
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$n$ soll in diesem Fall die Anzahl an Knoten wiedergeben.
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||||
$n$ soll in diesem Fall die Anzahl an Knoten wiedergeben.
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||||
Da es sich bei \texttt{availableNodes} um eine
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\texttt{LinkedList<Node<T>>} handelt, muss bei jedem
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||||
Durchgehen der Liste jedes Element einzeln abgearbeitet
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||||
werden. In der Funktion \texttt{getSmallestNode()} ist
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dies der Fall.
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Da es sich bei \texttt{availableNodes} um eine
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||||
\texttt{LinkedList<Node<T>>} handelt, muss bei jedem
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||||
Durchgehen der Liste jedes Element einzeln abgearbeitet
|
||||
werden. In der Funktion \texttt{getSmallestNode()} ist
|
||||
dies der Fall.
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\subsubsection{Teil (b)}
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\subsubsection{Teil (b)}
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Anstelle einer \texttt{LinkedList} braucht man eine
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Datenstruktur, die bereits nach der Größe sortiert ist,
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||||
damit bei dem Zugriff auf das kleinste Element nur ein
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Schritt erforderlich ist.
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Anstelle einer \texttt{LinkedList} braucht man eine
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Datenstruktur, die bereits nach der Größe sortiert ist,
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||||
damit bei dem Zugriff auf das kleinste Element nur ein
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||||
Schritt erforderlich ist.
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$$O(n) = $$
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$$O(n) = $$
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\subsubsection{Teil (c)}
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\subsubsection{Teil (c)}
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||||
Invariante: Nach $h \geq 0$ Durchläufen gilt:
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Invariante: Nach $h \geq 0$ Durchläufen gilt:
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\subsection{Kürzester Pfad zu allen Knoten}
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\subsection{Kürzester Pfad zu allen Knoten}
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\end{document}
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