Fix GraphAlgorithm (hopefully)

doc/Dokumentation.tex

@@ -145,7 +145,7 @@ Eine pseudocode-Darstellung des Algorithmus:
 	\If{edge is passable}
 	\State $n \gets$ otherNode
 	\State $a \gets$ v.value + edge.value
-	\If{n.value = -1 or n.value > a}
+	\If{n.value $= -1$ or n.value $> a$}
 	\State n.value $\gets$ a
 	\State n.previous $\gets$ v
 	\EndIf
@@ -182,9 +182,8 @@ Knoten eine Kante mit sich selber haben kann.
 \subsubsection{Teil (b)}
 
 Anstelle einer \texttt{LinkedList} braucht man eine
-Datenstruktur, die bereits nach der Größe sortiert ist,
-damit bei dem Zugriff auf das kleinste Element nur ein
-Schritt erforderlich ist.
+Datenstruktur, die den Zugriff auf das kleinste Element
+effektiver gestaltet.
 
 Ein Beispiel dafür ist die \texttt{PriorityQueue}, 
 die wir in Hausübung 8 implementiert haben. Dort werden
@@ -192,8 +191,26 @@ Elemente beim Einfügen bereits sortiert, sodass der
 Zugriff auf das (in diesem Fall) kleinste Element
 in $O(1)$, also konstanter Zeit, gemacht werden kann.
 
+Die algorithmische Komplexität mit dieser Änderung
+beträgt dann im worst case
+
 $$O(n)$$
 
+Für einen allgemeine Datentyp \texttt{T} kann man
+folgendes feststellen:
+
+Sei $x$ die algorithmische Komplexität für das
+Suchen vom kleinsten Element (z.B. $x = O(n)$ bei
+\texttt{LinkedList}).
+
+Sei $y$ die algorithmische Komplexität für das
+Entfernen vom kleinsten Element (bei einer normalen
+\texttt{LinkedList} $O(1)$).
+
+Dann beträgt die algorithmische Komplexität
+
+$$O(n \cdot x \cdot y)$$
+
 \subsubsection{Teil (c)}
 
 Sei $n$ die Anzahl an Knoten. 
@@ -210,18 +227,37 @@ $n - h$ Elemente wurden noch nicht abgearbeitet.
 
 Für alle abgearbeiteten Knoten gilt:
 $h$ Knoten sind schon abgearbeitet worden.
+Die zu den Knoten zugehörigen \texttt{AlgorithmNodes}-Objekte
+beinhalten die insgesamte Länge zu dem Startknoten.
 
 \subsection{Kürzester Pfad zu allen Knoten}
 
 \subsubsection{Teil (a)}
 
-Wenn ein negativer Zyklus auftaucht, 
+Wenn ein Zykel auftaucht, dann bedeutet
+das, dass eine Menge $K$ an Knoten gibt, sodass
+$K = \{k_1 ... k_n\}$ und Kanten zwischen $k_1$
+und $k_2$ usw. bis $k_n$ und $k_1$ existieren. 
+
+Ein negativer Zykel ist dann vorhanden, wenn
+$M^0(k_1, k_2) + ... + M^0(k_n, k_1) < 0$. 
+Oder mathematischer aufgeschrieben:
+
+$$\sum_{l=1}^{n-1} {M^0(k_l, k_{l+1})} + M^0(k_n, k_1) < 0$$
+
+Laut der Schleifeninvariante gilt, dass nach $h \geq 0$
+Schritten $M^h$ die Längen von den Pfaden enthält,
+die am kürzesten sind und dabei nicht mehr als
+$h + 1$ Kanten besuchen.
+
+%Für die Graphmatrix $M$ gilt außerdem
+%$M(k_1, k_2) < 0$ usw. bis $M(k_n, k_1) < 0$.
 
 \subsubsection{Teil (b)}
 
-Best case:
+Best case: $\Theta()$
 
-Worst case:
+Worst case: $\Theta()$
 
 \section{Weitergestaltung des Spiels}
 
@@ -231,6 +267,12 @@ Worst case:
 
 \subsubsection{Begrenzte Rundenanzahl}
 
+Wenn man diese Mission wählt, gilt es, nach einer
+festgelegten Anzahl an Runden die meisten Burgen
+zu besitzen. Sollten zwei oder mehr Spieler
+gleich viele Burgen zu diesem Zeitpunkt in Besitz haben,
+gibt es ein Unentschieden.
+
 \subsubsection{Capture the Flag}
 
 In dieser Mission werden wichtige Burgen, sogenannte
@@ -257,6 +299,10 @@ wenn die Mission aktiv ist und die Burgen verteilt wurden.
 
 \subsubsection{Bevölkerung}
 
+Das Ziel der Spieler, die diese Mission ausgewählt haben,
+ist es, vor allen anderen Spielern eine bestimmte Anzahl
+an Truppen auf verschiedenen Burgen stationiert zu haben.
+
 \subsection{Joker}
 
 \end{document}