\documentclass{article}

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\usepackage{algorithm}
\usepackage[noend]{algpseudocode}
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\usepackage[utf8]{inputenc}

\title{FOP Projektgruppe 175}
\author{Steffen Wagner\\
	Dennis Weinberger\\
	Jonas Süß\\
	Joachim Schmidt}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\pagebreak

\section{Der Graph}

\subsection{Bildung der Kanten}

Der Algorithmus für die Bildung der Kanten ist eine
Version des \href{https://de.wikipedia.org/wiki/Algorithmus_von_Prim}{Algorithmus von Prim}:

\begin{algorithm}
	\caption{Bildung von Kanten}\label{generate}
	\begin{algorithmic}[1]
	\Procedure{generateEdges}{}
	\If{nodes is empty} return \EndIf
	\State $castle \gets allCastles[0]$
	\State $remainingCastles \gets allCastles$
	\State $connectedCastles \gets empty$
	\Loop
	\If{$remainingCastles$ is empty} break
	\EndIf
	\State connect $castle$ to nearest castle
	\State remove $castle$ from $remainingCastles$
	\State add    $castle$ to   $connectedCastles$
	\EndLoop
	\ForAll{castle in allCastles}
	\ForAll{nearCastle in allCastlesInRadius(castle)}
	\State connect $castle$ to $nearCastle$
	\EndFor
	\EndFor
	\EndProcedure
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}

% Erklärung des Algorithmus
Der Algorithmus ist in zwei Schritte aufgeteilt:
\begin{itemize}
	\item Minimale Verbindung von allen Burgen
	\item Ästhetische Verbesserung der Kanten
\end{itemize}

Die minimale Verbindung aller Burgen erfolgt, indem
sichergestellt wird, dass jede Burg mit einer anderen
verbunden ist und dass alle Burgen in einer gemeinsamen
Verbindung zusammenhängen. Der Algorithmus fängt bei
einer bestimmten Start-Burg an und verbindet diese Burg
mit der nächstliegenden Burg, die noch nicht verbunden
wurde. Daraufhin wird das gleiche mit der nächsten,
übernächsten, usw. Burg getan, bis die letzte Burg erreicht
wurde. Zu diesem Zeitpunkt sind alle Burgen durch einen
Graph verbunden.

Die Ästhetische Verbesserung erfolgt, indem alle Burgen
im Umkreis einer Burg durch eine Kante verbunden werden.

\subsection{Überprüfung der Erreichbarkeit aller Knoten}

Der Algorithmus, der prüft, ob alle Knoten erreichbar sind, ist
folgender:

\begin{algorithm}
	\caption{Erreichbarkeit aller Knoten}\label{connected}
	\begin{algorithmic}[1]
	\Procedure{allNodesConnected}{}
	\State $\textit{firstNode} \gets \text{first element of }\textit{nodes}$
	\State $allVisitedNodes \gets \textit{empty}$
	\State $nextVisitNodes \gets empty$
	\State $\text{append } firstNode \text{ to } allVisitedNodes$
	\State $\text{neighborsOf } firstNode$
	\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
	\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
	\Loop
	\If {$nextVisitNodes \text{ is empty}$}
	break
	\EndIf
	\State $\text{append first element of } nextVisitNodes \text{ to } allVisitedNodes$
	\State $\text{neighborsOf first element of } nextVisitNodes$
	\State $\rightarrow \text{filter out all } x \text{ where } allVisitedNodes \text{ contains } x$
	\State $\rightarrow \text{append to } nextVisitNodes$
	\State $\text{delete first element of } nextVisitNodes$
	\EndLoop
	\EndProcedure
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Der Algorithmus verwendet zwei unterschiedliche Datentypen:

\begin{itemize}
	\item HashSet wird verwendet, um die bisher
	besuchten Knoten zu speichern. Eine HashSet
	hat den Vorteil, dass Elemente nur einmal
	gespeichert werden können. 
	\item ArrayDeque wird verwendet, um die nächsten
	Knoten, die besucht werden, zu speichern.
\end{itemize}

Der Algorithmus sammelt sozusagen alle Knoten, die 
aufgrund von momentanen Erkenntnissen erreichbar
sind, in der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}. Hingegen sind
alle Knoten, die schon erreicht worden sind, in dem HashSet
\texttt{allVisitedNodes} gespeichert. 

Der Algorithmus geht die ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes}
solange durch, bis diese leer ist. In jeder Iteration wird
das erste Element der Liste aus der Liste entfernt. 
Zunächst wird dieses Element dem HashSet \texttt{allVisitedNodes} 
hinzugefügt. Daraufhin
werden die Nachbarn dieses Elements herausgefunden. Diejenigen
Nachbarn, die schon in dem HashSet \texttt{allVisitedNodes}
vorhanden sind, werden verworfen. Die restlichen Nachbarn
werden der ArrayDeque \texttt{nextVisitNodes} hinzugefügt.

\subsection{Wege finden}
\subsubsection{Teil (a)}

Eine pseudocode-Darstellung des Algorithmus: 

\begin{algorithm}
	\caption{Berechnung der Distanzen}\label{path}
	\begin{algorithmic}[1]
	\Procedure{run}{}
	\State $v \gets$ getSmallestNode()
	\Loop
	\If{$v$ is null} \Return \EndIf
	\ForAll{edges}
	\If{edge is passable}
	\State $n \gets$ otherNode
	\State $a \gets$ v.value + edge.value
	\If{n.value = -1 or n.value > a}
	\State n.value $\gets$ a
	\State n.previous $\gets$ v
	\EndIf
	\EndIf
	\EndFor
	\State $v \gets getSmallestNode()$
	\EndLoop
	\EndProcedure
	\end{algorithmic}
\end{algorithm}

Die algorithmische Komplexität im worst-case ist:

$$O(n^2)$$

$n$ soll in diesem Fall die Anzahl an Knoten wiedergeben.

Da es sich bei \texttt{availableNodes} um eine
\texttt{LinkedList<Node<T>>} handelt, muss bei jedem
Durchgehen der Liste jedes Element einzeln abgearbeitet
werden. In der Funktion \texttt{getSmallestNode()} ist
dies der Fall.

Das bedeutet, dass bei jeder Aufruf von \texttt{getSmallestNode()}
eine Komplexität von $O(n)$ hat, wenn $n$ die Anzahl
der Knoten darstellt.

Bei jeder Iteration des Algorithmus wird zuerst der
Knoten mit dem kleinsten Wert gesucht. Dann werden alle
Nachbarn dieses Knotens abgeprüft. Das können höchstens
$n - 1$ Knoten sein, da ausgeschlossen wird, dass ein
Knoten eine Kante mit sich selber haben kann.

\subsubsection{Teil (b)}

Anstelle einer \texttt{LinkedList} braucht man eine
Datenstruktur, die bereits nach der Größe sortiert ist,
damit bei dem Zugriff auf das kleinste Element nur ein
Schritt erforderlich ist.

Ein Beispiel dafür ist die \texttt{PriorityQueue}, 
die wir in Hausübung 8 implementiert haben. Dort werden
Elemente beim Einfügen bereits sortiert, sodass der
Zugriff auf das (in diesem Fall) kleinste Element
in $O(1)$, also konstanter Zeit, gemacht werden kann.

$$O(n)$$

\subsubsection{Teil (c)}

Sei $n$ die Anzahl an Knoten. 

\textbf{Invariante}: Nach $h \geq 0$ Durchläufen gilt:

\texttt{availableNodes}, die Liste von Knoten, die
noch nicht bearbeitet wurden enthält $n - h$ Elemente.
Diese Knoten sind alle Knoten ohne die $h$ kleinsten
Knoten, also alle $n - h$ größten Knoten.

Für alle noch nicht abgearbeiteten Knoten gilt:
$n - h$ Elemente wurden noch nicht abgearbeitet.

Für alle abgearbeiteten Knoten gilt:
$h$ Knoten sind schon abgearbeitet worden.

\subsection{Kürzester Pfad zu allen Knoten}

\subsubsection{Teil (a)}

Wenn ein negativer Zyklus auftaucht, 

\subsubsection{Teil (b)}

Best case:

Worst case:

\section{Weitergestaltung des Spiels}

\subsection{Computergegner}

\subsection{Missionen}

\subsubsection{Begrenzte Rundenanzahl}

\subsubsection{Capture the Flag}

In dieser Mission werden wichtige Burgen, sogenannte
Flags, gleichmäßig auf die Spieler verteilt. Es ist das
Ziel, zuerst vor allen anderen Spielern alle diese Burgen
zu erobern.

\subsection{Joker}

\end{document}
